Question

решить уравнение: 2^x + 2^|x| = 2√2

Answer 1

$2^{x}+2^{|x|}=2sqrt2$

Рассмотрим три случая.

$1); ; x textgreater 0; ; to ; ; |x|=x; ; to ; ; 2^{x}+2^{x}=2sqrt2\\2cdot 2^{x}=2sqrt2; ; to ; ; 2^{1+x}=2^{frac{3}{2}}\\1+x=frac{3}{2}; ,; ; x=frac{1}{2}\\2); ; x=0; ,; |x|=|0|=0; ; to ; ; 2^0+2^0=2sqrt2\\1+1=2sqrt2; ; -; ; neverno,; tak; kak; ; 2ne 2sqrt2; Rightarrow\\x=0; ; ; ne; koren\\3); ; x textless 0; to ; |x|=-x; to ; ; 2^{x}+2^{-x}=2^{frac{3}{2}}\\2^{x}+frac{1}{2^{x}}-2^{frac{3}{2}}=0; ,; ; (2^{x})^2-2^{frac{3}{2}}cdot 2^{x}+1=0$

$D=(2^{frac{3}{2}})^2-4cdot 1=2^3-4=8-4=4\\(2^{x})_1=frac{2^{frac{3}{2}}-2}{2}=frac{sqrt{2^3}-2}{2}=frac{2sqrt2-2}{2}=sqrt2-1\\(2^{x})_2=frac{2sqrt2+2}{2}=sqrt2+1\\x_1=log_2(sqrt2-1); ,; ; ; x_2=log_2(sqrt2+1)\\P.S.; ; a^{x}=b; ; Rightarrow ; ; x=log_{a}, b$

$Otvet:x_1=log_2(sqrt2-1);x_2=log_2(sqrt2+1);x_3=frac{1}{2}.$