Question

AD||BC
BM = 8
BC+AD=17
S(ACM) = S(ADM)
AM = ?

Надо узнать длину AM.

Answer 1

Так как треугольники АСМ и АДМ имеют общую вершину А и площади этих треугольников равны, то СМ=МД.

S(Δ ACM)=S(ΔАДМ)

CM·h/2=MД·h/2  ⇒  СM=MД.

M- cередина СД.

Проведем через точку М среднюю линию MN.

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

МN=(ВС+АД)/2=17/2=8,5

Так как MN и АД параллельны, то
∠NMA=∠MAД - внутренние накрест лежащие углы при  MN|| АД
и секущей АМ

∠NAM=∠MAД  по условию, АМ - биссектриса угла А

Значит  ∠NMA=∠NAM
и треугольник АNМ - равнобедренный.
AN=NM=8,5

Значит АВ=2 АN=17 ( так как N- cередина АB)

По теореме косинусов из треугольника NBМ:
NM²=BN²+BM²-2·BN·BM·cos∠B
8,5²=8,5²+8²-2·8,5·8·cos∠B

cos∠B=8/17

По теореме косинусов из треугольника ABМ:
AM²=AB²+BM²-2·AB·BM·cos∠B
AM²=17²+8²-2·17·8·(8/17)
AM²=289+64-128=225
AM=15