Question

Выясните, при каких целых значениях a, где a<10, уравнение (x+a-2)²+(x-a+2)²=2a²-8 имеет целые корни. Найдите эти корни.

Answer 1

Преобразуем:
(x+(a-2))²+(x-(a-2))²=2(a-2)(а+2).
х²+2х(а-2)+(а-2)²+х²-2х(а-2)+(а-2)²=2(a-2)(а+2).
2х²+2(а-2)²=2(a-2)(а+2)=х²+(а-2)²=(a-2)(а+2). Или
х²=(a-2)(а+2)-(а-2)².
х²=(a-2)(а+2)-(а-2)(а-2).
х²=(a-2)(а+2-а+2).
х²=4(a-2).
Для того, чтобы у этого уравнения имелись целые корни, необходимо, чтобы (а-2) был равен квадрату целого числа, то есть а=2, а=3 и а=6.
Тогда корни равны х=0, х=±2 и х=±4 соответственно.

Answer 2

Выясните, при каких целых значениях a, где a<10, уравнение
(x+a-2)²+(x-a+2)²=2a²-8 имеет целые корни. Найдите эти корни.
---
(x+a-2)²+(x-(a-2))²=2a²-8 ;
x² +2x(a-2) +(a-2)²+x² -2x(a-2) +(a-2)² =2a²-8 ;
2(x² +(a-2)²) =2(a²-4) ;
x² +a²-4a+4 =a²-4 ;
x²  =4(a -2) * * * имеет решения, если  a -2 ≥0 
2 ≤ a <10 ;
x²  =4(a -2)
x = ±2√(a -2) ; целые корни получаются при a ∈{ 2;3;6 }.

x ∈ { 0; ±2; ±4 } .

(a ; x):    (2;0) ,(3 ; -2) ;(3;2) ;(6;-4) ;(6 ;4).