Question

Назовем наибольшим делителем составного натурального числа его самый большой, не равный ему, делитель. Наименьшим делителем назовем его самый маленький, не равный единице, делитель. Например, у числа 150 наибольший делитель равен 75, а наименьший — 2. Сколько существует различных составных натуральных чисел, у которых наибольший делитель ровно в 391 раз больше наименьшего? помогите плиз)

Answer 1

Любое составное число представимо в виде произведения простых чисел:

$k=k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_{n}=k_1\cdot (k_2\cdot ...\cdot k_{n})$

Например, 150=2*3*5*5=2*(75) ,  где 2 - наименьший делитель. 75 - наибольший делитель.
В общем случае, $k_1 -$ наименьший делитель, а наибольшим делителем будет произведение $(k_2\cdot ...\cdot k_{n})$ .
Для искомого числа обозначим наименьший делитель k, а наибольший будет (391k).
Значит само число можно представить в виде k*k*391=391*k²
391=17*23

$391k^2=k^2\cdot 17\cdot 23=k\cdot k\cdot 17\cdot 23\; \; \Rightarrow \; \; k \leq 17,\; k\; -prostoe\\\\k=3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,17.$ 

Значит таких чисел 6. Это такие числа:

$3\cdot 3\cdot 17\cdot 23=3519\\\\5\cdot 5\cdot 17\cdot 23=9775\\\\.....................................\\\\17\cdot 17\cdot 17\cdot 23=112999$