Question

Решите неравентсво
$x^4-x^3-4x^2-x+1 textgreater 0$

Answer 1

$x^4-x^3-4x^2-x+1 textgreater 0$

Для начала решим уравнение:

$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$

Решим методом неопределенных коэффициентов.
Зная, что любой многочлен четвертой степени можно разложить на два квадратных многочлена, применим схему:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\x^4+ax^3+cx^3+acx^2+bx^2+dx^2+bcx+adx+bd=\ x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd$

Составим систему уравнений:

$left{begin{matrix} a &+ &c &= &-1 & & \ ac &+ &b &+ &d &= &-4 \ ad &+ &bc &= &-1 & & \ bd &= &1 & & & & end{matrix}right.$

Подберем к четвертому уравнению пару, удовлетворяющую нашей системе:

$left{begin{matrix} b &= &1 \ d &= &1 end{matrix}right. left{begin{matrix} b &= &-1 \ d &= &-1 end{matrix}right.$

Нам подошла система первой пары. Подставляем и решаем уравнение:

$a=-1-c$

$c(-1-c)+1+1=-4\ -c-c^2+2=-4\ -c^2-c+6=0 |:(-1)\ c^2+c-6=0\ D=1+24=25; sqrt{D} =5\\ c_{1/2}= frac{-1pm5}{2} \ c_1=-3\ c_2=2$

Возьмем любое значение с и выполним проверку:

$ad+bc=-1\ 2cdot(-3)+1+1=-4\ -6+2=-4\ -4=-4$


Итог: $a=-3\ b=1\ c=2\ d=1$

Возвращаемся к нашей схеме. Подставим все найденные элементы:

$(x^2-3x+1)(x^2+2x+1)=0\\ x^2-3x+1=0\ D=9-4=5; sqrt{D} =sqrt{5}\\ x_{1/2}= frac{3pmsqrt{5}}{2} \\\ (x+1)^2=0\ x+1=0\ x=-1$

__+__-1__+__$frac{3-sqrt5}{2}$__-__$frac{3+sqrt5}{2}$__+__

Ответ: $xin (-infty; -1)bigcup(-1; frac{3-sqrt5}{2})bigcup( frac{3+sqrt5}{2}; +infty)$

Answer 2

$x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 ;$


Найдём нули функции:

$f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 ;$


Для этого решим уравнение:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 ;$


По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, которая гласит, что их числители являются делителями свободного слагаемого, а знаменатели – делителями старшего коэффициента, находим, что модуль возможного корня единственный:

$|x| = 1 ;$


Проверим:

$x = pm1 : f(pm1) = (pm1)^4 - (pm1)^3 - 4 cdot (pm1)^2 mp 1 + 1 = 1 mp 1 - 4 mp 1 + 1 = -2 mp 2 ;$


Откуда ясно, что    $f(x=-1) = -2 + 2 = 0 ;$

Итак    $x=-1$    – один из корней указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен делиться без остатка на    $(x+1) ,$    выделим этот множитель:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 (x+1) - 2x^3 - 4x^2 - x + 1 = \\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x^2 - x + 1 = \\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x(x+1) + x + 1 = \\ = (x+1) ( x^3 - 2x^2 - 2x + 1 ) ;$


По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, в применении уже к кубическому многочлену, стоящему в длинной скобке, находим, что модуль возможного корня единственный:

$|x| = 1 ;$


Проверим:

$x = pm1 : (pm1)^3 - 2 cdot (pm1)^2 - 2 cdot (pm1) + 1 = pm 1 - 2 mp 2 + 1 = -1 mp 1 ;$


Откуда ясно, что    $x=-1$    – кратный корень,
который подходит и в кубический многочлен.

Итак    $x=-1$    – двойной корень указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен дважды делиться без остатка на    $(x+1) ,$    выделим этот множитель вторично:

$x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = x^2(x+1) - 3x^2 - 2x + 1 = \\ = x^2(x+1) - 3x(x+1) + x + 1 = (x+1) ( x^2 - 3x + 1 ) ;$


Таким образом:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) ;$

И не составит никакого труда решить уравнение:

$(x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) = 0 ;$

$D = 3^2 - 4 cdot 1 cdot 1 = 9 - 4 = 5 ;$

$x_1 = -1 ;$

$x_{2,3} = frac{ 3 pm sqrt{5} }{2} ;$

$x_{2,3} > 0 > x_1 ;$


По теореме Виета мы можем переписать исходное неравенство, как:

$x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 ;$

$(x+1)^2 ( x - frac{ 3 - sqrt{5} }{2} ) ( x - frac{ 3 + sqrt{5} }{2} ) > 0 ;$


С учётом знака и степени при старшем коэффициенте – функция, очевидно, монотонно уходит на    $+infty ;$    при    $x to pm infty ;$

При переходе через    $x_1$    функция не меняет знака, так как корень чётный, однако нужно понимать, что сам корень не удовлетворяет строгому неравенству.

При переходе через    $x_{2,3}$    функция меняет знак, а сами корни тоже не удовлетворяет строгому неравенству.


Окончательно имеем:

$x in ( -infty ; -1 ) cup ( -1 ; frac{ 3 - sqrt{5} }{2} ) cup ( frac{ 3 + sqrt{5} }{2} ; +infty) ; Rightarrow f(x)>0$
– неравенство удовлетворено.

$x in ( frac{ 3 - sqrt{5} }{2} ; frac{ 3 + sqrt{5} }{2} ) ; Rightarrow f(x) < 0$
– неравенство НЕ удовлетворено.


О т в е т :    $x in ( -infty ; -1 ) cup ( -1 ; frac{ 3 - sqrt{5} }{2} ) cup ( frac{ 3 + sqrt{5} }{2} ; +infty) .$

Answer 3

Не стоило так много писать. Просто до меня туго доходит. Пришлось лезть в учебник Мордковича и смотреть как находятся корни в уравнениях степени выше 2-й

Answer 4

Ваш ответ исчевпывающий

Answer 5

Если вы полагаете, что меня утруждает многописание – то это не так :–) Меня намного сильнее утруждает повторение, так что, предваряя возможное недопонимание, я всегда стараюсь высказаться исчерпывающе. И получается длинно. На самом деле писать кратко – куда сложнее писать коротко и добиваться такого же понимания.

Answer 6

Так что не просите писать кратко – это лишком сложно! Сократить текст традиционно просят издатели и диссертационные советы. Это всегда так обидно. Давайте оставим это место – территорией свободы для высказываний :–)

Answer 7

ОК