Question

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку AB и BC. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Answer 1

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. 
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC. 
б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB. 
---------------------- 
Все ребра данной пирамиды равны.  ⇒  все ее грани - равные  правильные треугольники.   
 По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒  
  MN - средняя линия ∆ АВС.    
 MN=AC:2=3   
Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды,    перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH.    
SO- высота пирамиды;   ВН -высота ∆ АВС.    SM=SN- (апофемы равных граней равны.)  ⇒    
∆  MSN- равнобедренный.    
BH⊥ MN  и пересекает её  в точке Р.    
 SP- высота  и медиана ∆ SMN.  
  МР=PN=1,5      
Пусть Е - центр грани SAB.   
 По свойству правильного треугольника его центр - точка   пересечения его медиан ( биссектрис, высот).    
 Точка пересечения  медиан треугольника делит их  в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒
  SE= 2/3 SM.   
SM=SA*sin(60º)=6*√3/2   
 SM=3√3  SE=2√3  
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка.   Проведем ЕТ параллельно MN.  
 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒   
  ЕТ  перпендикулярен плоскости SBH  
Рассмотрим ∆ SPМ и ∆  SKE (см. второй рисунок - нагляднее).  
ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒    
  ∆ SPМ ~ ∆  SKE  Из их подобия следует отношение 
 SE:SM=EK:MP  
EK=SE*MP:SM  
 EK=2√3)*1,5:3√3  =1   
Ответ: расстояние от плоскости  сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).