Известно что функция y=F(x) - первообразная для функции y=(x^3-9х)*корень(x-2). Исследуйте функцию y=F(x ) на монотонность и экстремумы. Последняя надежда
Ответы
Чтобы найти первообразную F(x), надо проинтегрировать заданную функцию.
∫(x³-9x)*√(x-2) *dx.Сделаем замену: t²=x-2, x=t²+2, dx=2t dt. Тогда получим интеграл
∫[(t²+2)³-9(t²+2)] *2t² dt= 2 ∫[t⁶+6t⁴+12t²+8-9t²-18]*t²dt= 2 ∫[ t⁸+6t⁶+3t⁴-10t² ]*dt= 2[ t⁹/9+6t⁷/7+3t⁵/5-10t³/3] + C= 2/9*t⁹+12/7*t⁷+6/5*t⁵-20/3*t³ +C, где t=√(x-2).
Для исследования F(x) надо найти производную от неё F¹(x),приравнять нулю Но производная должна быть равна заданной функции у=(x³-9x)*√(x-2). Это по определению первообразной.
y¹=(3x²-9)*√(x-2)+(x³-9x)*1/ √(x-2)=1/√(x-2) *[2(3x²-9)(x-2)+x³-9x]=0
То, что в квадр. скобках - числитель, а в знаменателе - √(х-2).
х≠2, числитель 7x³-12x²-27x+36=0. Из этого уравнения найдете корни (подбором, 36 должно делиться на корни).Корни являются критическими точками, то есть точками, подозрительными на экстремум.
В этом примере первообразная нужна, чтобы найти "у" экстремальных точек.