Question

Вычислить площадь фигуры ограниченному линиями и построить график $y= x^{2} -2x+2; y=2+6x- x^{2}$

Answer 1

$x^2-2x+2=2+6x-x^2\\ 2x^2-8x=0\\ 2x(x-4)=0\\ x=0 \vee x=4$

$\displaystyle \int \limit_0^42+6x-x^2-( x^2-2x+2)\, dx=\\ \int \limit_0^42+6x-x^2- x^2+2x-2\, dx=\\ \int \limit_0^4-2x^2+8x\, dx=\\ -2\int \limit_0^4x^2-4x\, dx=\\ -2\left[\dfrac{x^3}{3}-2x^2\right]_0^4=\\ -2\left(\dfrac{4^3}{3}-2\cdot4^2-\left(\dfrac{0^3}{3}-2\cdot0^2\right)\right)=\\ -2\left(\dfrac{64}{3}-32\right)=\\ -2\left(\dfrac{64}{3}-\dfrac{96}{3}\right)=\\ -2\cdot\left(-\dfrac{32}{3}\right)=\\ \dfrac{64}{3}\approx21,3$

Answer 2

Парабола  у-х²-2х+2 имеет вершину в точке (-1,5) , ветви направлены вверх, точек пересечения с осью ОХ нет. Пересекает ось ОУ в точке (0,2).
Парабола у=2+6х-х²  имеет вершину в точке (3,11), ветви направлены вниз, проходит через точки  (0,2), (6,2).
Точки пересечения дух парабол:
  x²-2x+2=2+6x-x²
  2x²-8x=0
  2x(x-4)=0    --->   x=0  или х=4

$S=\int _0^4(2+6x-x^2-(x^2-2x+2))dx=\int _0^4(-2x^2+8x)dx=\\\\=(-2\cdot \frac{x^3}{3}+8\cdot \frac{x^2}{2})|_0^4=-\frac{2}{3}\cdot 4^3+4\cdot 4^2=4^3(1-\frac{2}{3})=4^3\cdot \frac{1}{3}=\frac{64}{3}$