Question

Интегрирование по частям
Помогите пожалуйста, очень надо.

Answer 1

1)   Обозначим интегра через I:

$I=\int 4^{x}\cdot sinx\, dx=\\\\=[\, u=4^{x},\; du=4^{x}\cdot ln4\, dx\; ,dv=sinx\, dx,\; v=-cosx\, ]=\\\\=-4^{x}\cdot cosx+ln4\cdot \int 4^{x}cosx\, dx=\\\\=[\, u=4^{x},\; du=4^{x}\cdot ln4\, dx,\; dv=cosx\, dx,\; v=sinx\, ]=\\\\=-4^{x}\cdot cosx+ln4(4^{x}\cdot sinx-ln4\cdot \int 4^{x}\cdot sinx\, dx)\; ;\\\\I=-4^{x}\cdot cosx+4^{x}\cdot sinx\cdot ln4-ln^24\cdot I\\\\I+ln^24\cdot I=4^{x}(sinx\cdot ln4-cosx)\\\\I(1+ln^24)=4^{x}(sinx\cdot ln4-cosx)$

$I=\int 4^{x}\cdot sinx\, dx= \frac{sinx\cdot ln4-cosx}{1+ln^24}$

$2)\; \; \int ln(1+2x^2)dx=\\\\=[\, u=ln(1+2x^2),\; du=\frac{4x}{1+2x^2}dx,\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-\int \frac{4x^2\, dx}{1+2x^2}=x\cdot ln(1+2x^2)-2\cdot \int \frac{(2x^2+1)-1)}{2x^2+1} dx=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-2\cdot \int (1-\frac{1}{2x^2+1})dx=x\cdot ln(1+2x^2)-\\\\-2\int dx+2\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot \int \frac{\sqrt2dx}{(\sqrt2x)^2+1} =[\, \int \frac{dt}{t^2+1}=arctgt,\; t=\sqrt2x\, ]=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-2x+\sqrt2\cdot arctg(\sqrt2x)+C$