Question

Задайте системой неравенств изображенную на рисунке часть круга

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle \left \{ {{(x-4)^2+y^2\leq 4^2} \atop {y+2 \cdot x\leq 4}} \right.$

Объяснение:

Круг с центром в точке O(x₀; y₀) и радиусом R описывается уравнением:

$\tt \displaystyle (x-x_{0} )^2+(y-y_{0}) ^2\leq R^2$.

Каждая клетка имеет размерность 1 и поэтому центр круга находиться в точке O(4; 0) и радиус R равен 4 (см. рисунок). Тогда получим следующее уравнение для круга:

$\tt \displaystyle (x-4)^2+y^2\leq 4^2$.

Так как заданная прямая не вертикальна относительно оси Ох, то уравнение прямой будем искать в виде:

$\tt \displaystyle y=k \cdot x+b.$

Прямая проходит через точки (2; 0) и (0; 4). Подставляя эти значения получим систему уравнений и находим неизвестные k и b:

$\tt \displaystyle \left \{ {{0=k \cdot 2+b} \atop {4=k \cdot 0+b}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{0=k \cdot 2+4} \atop {b=4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{k=-2} \atop {b=4}} \right.$

Получили следующее уравнение прямой:

$\tt \displaystyle y=-2 \cdot x+4.$

По чертежу прямая должна ограничивать полуплоскость, где находиться начало координат (0; 0). Подставляем в уравнение и получим неравенство:

$\tt \displaystyle 0=-2 \cdot 0+4 \Rightarrow 0\leq 4.$

Тогда нужная полуплоскость, где находиться начало координат (0; 0) имеет вид:

$\tt \displaystyle y\leq -2 \cdot x+4.$

Теперь часть круга, которая получена пересечением круга и полуплоскости, можно отобразит следующей системой неравенств:

$\tt \displaystyle \left \{ {{(x-4)^2+y^2\leq 4^2} \atop {y+2 \cdot x\leq 4}} \right.$