Question

Нужно решить эта задачу и объяснить почему вы решили именно таким способом. Объяснение важнее всего.

Answer 1

Если привести к общему знаменателю разность  $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ , то получим дробь  $\frac{1}{n(n+1)}$ . Верно и обратное:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \; \; \Rightarrow \\\\ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 6} +...+ \frac{1}{8\cdot 9} + \frac{1}{9\cdot 10} =\\\\=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+...+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=\\\\=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=0,9$

$P.S.:\\\\\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}= \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$