Question

РЕШИТЬ ОДИН ИНТЕГРАЛ  номер 20

Answer 1

Точняк.Второе решение правильное, я,когда интегрировал sin3x писал вместо sin3x/3 3*sin3x. Зато я С не забыл=)

Тут сложно писать, поэтому напишу кратко. Для перехода от одной части к другой я использовал метод интегрирования по частям.

$int{2^xcos3x}, dx=-3cdot 2^x sin3x+int{3ln2cdot 2^xsin3x}, dx=\ -3cdot 2^x sin3x+9ln2cdot 2^x cos3x-9ln^22int{2^xcos3x}, dx$

Теперь мы видим что интеграл справа и интеграл слева одинаковые с точностью до константы. Перенесём его из правой части в левую и получим:

$(9ln^22+1)int{2^xcos3x}, dx= -3cdot 2^x sin3x+9ln2cdot 2^x cos3x+C$

А разделить всё на $9ln^22+1$, чтобы получить ответ я думаю ты и сам сможешь=)

 

Answer 2

Обозначим

$I=int {2^xcos(3x)} dx$

Интегрерия частями

$I=int {2^xcos(3x)} dx=frac{1}{3}int {2^xcos(3x)} d(3x)=\\ frac{1}{3} int {2^x}d (sin(3x))=\\ frac{1}{3}(2^x*sin(3x)-int sin(3x) d(2^x))=\\ frac{1}{3}(2^x*sin(3x)-int sin(3x) 2^x*ln 2 dx=$

$frac{1}{3}(2^x*sin(3x)-ln2*int sin(3x) 2^x*dx=\\ frac{1}{3}(2^x*sin(3x)+frac{ln2}{3}*int 2^x*(-sin(3x))d(3x)=\\ frac{1}{3}(2^x*sin(3x)+frac{ln2}{3}*int 2^x*d(cos(3x))=\\ frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2}{9}*(2^x*cos (3x)-int cos(3x) d 2^x=\\ frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2}{9}*(2^x*cos (3x)-int cos(3x) 2^x*ln 2dx)=\\ frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2}{9}*(2^x*cos (3x)-ln 2*I)=\\ frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2*2^x*cos (3x)}{9}-frac{ln^2 2}{9}*I;$

откуда наш интеграл

$I*(1+frac{ln^2 2}{9})=<var>frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2*2^x*cos (3x)}{9}</var>;\\I=frac{<var>frac{2^xsin(3x)}{3}+frac{ln 2*2^x*cos (3x)}{9}</var>}{1+frac{ln^2 2}{9}}$