Question

Метод введения новой переменной 4^x-10*2^x-1=24 решить

Answer 1

Уравнение 4^x-10*2^x-1=24 представим в виде:
(2²)^x - 10*(2^x) -1 - 24 = 0,
(2^x)² - 10*(2^x) - 25 = 0.

Введём новую переменную 2^x = у.
Получаем квадратное уравнение у² - 10у - 25 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: 
Ищем дискриминант:D=(-10)^2-4*1*(-25)=100-4*(-25)=100-(-4*25)=100-(-100)=100+100=200;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√200-(-10))/(2*1)=(√200+10)/2=√200/2+10/2=√200/2+5 ≈ 12.071067812
y_2=(-√200-(-10))/(2*1)=(-√200+10)/2=-√200/2+10/2=-√200/2+5 ≈ -2.071067812. Этот корень отбрасываем: 2^x не может быть отрицательным числом.

Делаем обратную замену:
2^x = 12.071067812.
х является логарифмом числа 12.071067812 по основанию 2.
Находим логарифм и х = 3.593481398.