Question

При 0<а<1 часто используется приближенная формула (1+а)^2=1+2а (приближенно). Какова абсолютная погрешность приближения, найденного этой формулой? С помощью это формулы найдите приближённые значения данного выражения и, используя калькулятор, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближения:
2) 1,05^2; 2) 1,002^2; 3) 0,999^2?

Answer 1

абсолютная погрешность = | (1+a)^2 - (1+2a) | = | 1+2a+a^2 - (1+2a) | =
 = |a^2| = a^2;
относительная погрешность = абсолютная_погрешность/(1+a)^2 = 
 = a^2/(1+a)^2;
1) (1,05)^2 = (1 + 0,05)^2 =[приближенно] = 1+2*0,05 = 1+0,1 = 1,1;
абсолютная погрешность = 0,05^2 = 0,0025,
относительная погрешность = 0,0025/(1,05)^2 =0,00227;

2) (1,002)^2 = (1 + 0,002)^2 = [приближенно] = 1+2*0,002 = 
= 1+ 0,004 = 1,004;
абсолютная погрешность =  0,002^2 = 4*10^(-6);
относительная погрешность = 0,002^2/(1,002)^2 = 3,98*10^(-6);
3) 0,999^2 = (1 - 0,001)^2 = [приближенно] = (1 - 2*0,001) = 
=1 - 0,002  = 0,998 
абсолютная погрешность = 0,001^2 = 10^(-6);
относительная погрешность = (10^(-6))/0,999^2 = 1,002 * 10^(-6).