Question

1)Какое значение а нужно,чтобы уравнение а²х- 2а²=49х+14а имело один корень?
2)При каком значении а сумма корней уравнения х²-(а²-17а+83)х-21=0 будет наименьшей?

Answer 1

$a^2x- 2a^2=49x+14a \ a^2x-49x=2a^2+14a \ (a^2-49)x=2a(a+7) \ (a-7)(a+7)x=2a(a+7)$
Рассмотрим три случая:
1) При а=7 получим:
$(7-7)cdot (7+7)cdot x=2cdot7cdot(7+7) \ 0cdot 14cdot x=14cdot14 \ 0cdot x=196$
Получившееся уравнение не имеет решений.
2) При а=-7 получим:
$(-7-7)cdot (-7+7)cdot x=2cdot(-7)cdot(-7+7) \ -14cdot 0cdot x=-14cdot0 \ 0cdot x=0$
Получившееся уравнение имеет бесконечное множество корней.
3) Если а≠7 и а≠-7, то разделим левую и правую часть уравнения на (а+7)(а-7)
$dfrac{(a-7)(a+7)}{(a-7)(a+7)} cdot x= dfrac{2a(a+7)}{(a-7)(a+7)} \ x= dfrac{2a}{a-7}$
Именно в этом случае уравнение будет иметь один корень.
Ответ: $ain(-infty;-7)cup(-7;7)cup(7;+infty)$

$x^2-(a^2-17a+83)x-21=0$
Прежде чем рассматривать сумму корней докажем, что уравнение всегда будет иметь корни. Находим дискриминант:
$D=(a^2-17a+83)^2-4cdot1cdot(-21)=(a^2-17a+83)^2+84$
Сумма неотрицательного числа (квадрат) и положительного числа есть число положительное, значит дискриминант положительный и уравнение имеет два корня при любом значении а.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1+x_2=a^2-17a+83$
Выражение $f(a)=a^2-17a+83$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине, которую вычислим по формуле:
$a_{min}=-frac{B}{2A} =-frac{-17}{2cdot1} =8.5$
Иначе можно было найти ответ приравняв к нулю первую производную функции:
$(a^2-17a+83)'=0 \ 2a-17=0 \ a_{min}= frac{17}{2} =8.5$
Ответ: 8,5