Question

1. Найдите точку максимума функции: y=(x-12)^2*(x-3)+4
2. Найдите точку минимума функции: y=(x+8)^2*(5x-32)+11
3. Найдите наименьшее значение функции: y=3x-x* корень из х+9 на отрезке [1,7]

Answer 1

Пример 1. Найти точку максимума функции $y=(x-12)^2(x-3)+4$

Решение:

1) Вычислим производную функции:
     $y'=((x-12)^2(x-3)+4)'=((x-12)^2)'(x-3)+(x-12)^2(x-3)'=\ \ =2(x-12)(x-3)+(x-12)^2=(x-12)(2x-6+x-12)=\ \ =(x-12)(3x-18)$
2) Приравниваем производную функции к нулю:
$(x-12)(3x-18)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x-12=0\ x_1=12\ 3x-18=0\ 3x=18\ x_2=6$

___+___(6)___-___(12)____+__
В точке х=6 производная функции меняется знак с (+) на (-), следовательно точка х=6 максимума.

Ответ: х=6 - точка максимума

Пример 2. Найти точку минимума функции $y=(x+8)^2(5x-32)+11$

Решение:

1) Найдем производную данной функции
$y'=((x+8)^2(5x-32)+11)'=((x+8)^2)'(5x-32)+(x+8)^2(5x-32)'=\ \ =2(x+8)(5x-32)+5(x+8)^2=(x+8)(10x-64+5x+40)=\ \ =(x+8)(15x-24)$
2) Приравниваем производную функции к нулю
$(x+8)(15x-24)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x+8=0\ x_1=-8\ \ 15x-24=0|:3\ 5x-8=0\ \ x=8/5=1.6$

___+___(-8)___-__(1.6)__+___
В точке х=1,6 знак производная меняется с (-) на (+), следовательно, точка х = 1,6 - т. минимума

Ответ: х=1.6 - точка минимума

Пример 3. Найти наименьшее значение функции $y=3x-x sqrt{x+9}$ на отрезке $[1;7]$

Решение:

1) Вычислим производную функции
$y'=(3x-x sqrt{x+9} )'=3-((x)'sqrt{x+9}+x(sqrt{x+9})')=\ \ =3-sqrt{x+9}- dfrac{x}{2sqrt{x+9}}$

2) Приравниваем производную функции к нулю
$3-sqrt{x+9}- dfrac{x}{2sqrt{x+9}} =0$
Пусть $sqrt{x+9}=t$, причем $t geq 0$, и$x=t^2-9$ тогда получаем
$3-t- dfrac{t^2-9}{2t} =0,,, bigg|cdot (2tne0)\ \ \ 6t-2t^2-t^2+9=0\ -3t^2+6t+9=0\ \ -3(t^2-2t-3)=0\ t^2-2t-3=0$
По т. Виета:
$t_1=-1\ t_2=3$
Корень t=-1 не удовлетворяет условию при t≥0

Обратная замена
$sqrt{x+9}=3\ x+9=9\ x=0notin [1;7]$

3) Найдем наименьшее значение на концах отрезка
$y(1)=3cdot 1-1cdot sqrt{1+9} =3-sqrt{10} textless 0\ y(7)=3cdot7-7cdotsqrt{7+9} =21-7cdot4=21-28=-7,,,,,-,,,,,,, min$

Ответ: наименьшее значение y(7)=-7