Question

Решите неравенства с параметром
1)$a x^{2} textless 9$
2)$a x^{2} textgreater -1$
3)$x^{2} +kx+1 geq 0$
4)$(n+5)x leq n^2-25$

Answer 1

$1)a x^{2} textless 9$

если а=0, то 0х²=0. 0<9 - верно при любом х,

если а>0, делим обе части неравенства на а
х² < (9/a)
х² - (9/a) < 0
(x-(3√a))(x+(3/√a))<0

(-∞;-3/√a)U(3/√a;+∞)

если а <0, делим обе части на а и меняем знак неравенства
х² > 9/a
9/а<0
-9/a>0
x²-9/a>0  при любом х  

О т в е т.  при а ≤0 х∈(-∞;+∞)
                при а >0  x∈ (-∞;-3/√a)U(3/√a;+∞)

$2)a x^{2} textgreater -1$

если а=0, то 0х²=0. 0>-1 - верно при любом х,

если а>0, делим обе части неравенства на а
x²>-1/a - верно при любом х, положительное число всегда больше отрицательного
если а<0, делим обе части неравенства на а и меняем знак неравенства
х²<-1/a
-1/a>0
(x-√(-1/a))(x+√(-1/a))<0
x∈(-√(-1/a));√(-1/a))

$3) x^{2} +kx+1 geq 0$

D=k²-4
при D=0   один корень х=-k/2
k=-2   x= 1
k=2    x=-1

при D>0  два корня
при k∈(-∞;-2)U(2;+∞) два корня

х₁=(-k-√(k²-4))/2;   x₂= (-k+√(k²-4))/2.

при D<0 уравнение не имеет корней
при k∈(-2;2) не имеет корней

$4)(n+5)x leq n^2-25$

$(n+5)x leq (n+5)(n-5)$
при n=-5
0x≤0 - неравенство верно при любом х

при n>- 5 делим обе части неравенства на (n+5)
x < n-5

при n < -5 делим обе части неравенства на (n+5)  и меняем знак
x> n-5

Answer 2

Спасибо!