Question

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы

Answer 1

1)
$y = x^3 e^x \ y'=3x^2 e^x+x^3 e^x=x^2 e^x(3+x) \ x^2 e^x(3+x)=0 \ x=-3$ -- точка экстремума
$x^2 e^x(3+x) textless 0, x textless -3$ -- функция монотонно убывает на промежутке
x ∈ (-∞; -3].
$x^2 e^x(3+x) textgreater 0, x textgreater -3$ -- функция монотонно возрастает на промежутке x ∈ [-3; +∞].
x = -3 -- точка минимума
2)
$y = x^4-4lnx \ y'=4x^3- frac{4}{x}=frac{4(x^4-1)}{x}=frac{4(x^2-1)(x^2+1)}{x}=frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x} \frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}=0$
На области определения (x > 0) функция имеет лишь одну точку экстремума: x = 1.
$frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x} textless 0$, 0 < x ≤ 1 -- функция монотонно убывает на промежутке x ∈ (0; 1].
$frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}>0$, x ≥ 1 -- функция монотонно возрастает на промежутке x ∈ [1; +∞).
x = 1 -- точка минимума

Answer 2

В первом примере есть нюанс, который не меняет решения, но, наверно, о нём всё же стоит упомянуть. При х = 0 производная тоже равна 0, но это не точка экстремума, т. к. при переходе через 0 производная не меняет свой знак.