Question

1) Известно, что y=F(x) первообразная для функции y=(x^3-81x)*корень из x-5. Cравните F(7) и F(8).

 

2) При каких положительных значениях параметра a выполняется неравенство S от 0 до а (3x^2-4x+2)dx меньше равно а?

 

3) Вычислите определенный интеграл S от 0 до pi/6 sin^2(3x)dx

Answer 1

1) Чтобы это выяснить, надо сначала вычислить, где первообразная убывает, а где возрастает. Чтобы это выяснить, надо взять ее производную, приравнять к нулю, найти точки экстремума.

Так как производная первообразной есть сама функция, то производная данной первообразной есть: F'(x) = (x^3-81x)*√(x-5)

Приравниваем производную к нулю, ищем стационарные точки:

(x^3-81x)√(x-5)=0
x(x^2-81)√(x-5)=0
x(x-9)(x+9)√(x-5)=0
x=0;x=9;x=-9;x=5

ОДЗ: x-5≥0 ; x≥5 => x=9; x=5 

Ищем, где производная положительная (отрицательная), тогда выясним, где первообразная возрастает (убывает)
       -            +
(5)------(9)-----> => первообразная убывает на [5;9]. Значит, на этом участке большему значению первообразной соответствует меньшее значение аргумента => F(7)>F(8)

2) ∫(3x^2-4x+2)dx(от 0 до а) = x^3-2x^2+2x (от 0 до а) = F(a) - F(0) = a^3-2a^2+2a ≤ а
а^3-2a^2+a≤0
a(a^2-2a+1)≤0
a^2-2a+1≤0
(a-1)^2≤0
a-1=0
a=1


3)  ∫sin^2(3x)dx (от 0 до п/6) = ∫(1-сos6x)/2 * dx (от 0 до п/6) = 1/2 * ∫(1-cos6x)dx (от 0 до п/6) = 1/2 * (x-1/6*sin6x) (от 0 до п/6) = F(п/6)-F(0) = 1/2 * (п/6 - 1/6sinп) - 0 = 1/2* (п/6-0) = п/12