Question

надо найти правильный ответ + или -
(см. в приложении

Answer 1

    $sin(arctgfrac{3}{4})=?$

Обозначим  $x=arctgfrac{3}{4}$ . 
По определению функции  $y=arctgx$  имеем: $left { {{-frac{pi}{2} textless arctgx textless frac{pi}{2}} atop {tgy=x}} right.$ .
То есть угол  х принадлежит либо 1, либо 4 четвертям   $(-frac{pi}{2} textless x textless frac{pi}{2})$  и  $tgy=tg(arctgx)=x .$ 

$tgx=tg(arctgfrac{3}{4})=frac{3}{4}\\1+tg^2x=frac{1}{cos^2x}; ; to ; ; 1+(frac{3}{4})^2=1+frac{9}{16}=frac{25}{16}$

Так как $x=arctgfrac{3}{4}$  принадлежит 1 или 4 четвертям, то в этих четвертях косинусы углов положительны, значит при извлечении квадратного корня из $cos^2x$ будем брать знак (+).

$frac{1}{cos^2x}=frac{25}{16}; ,; ; cos^2x=frac{16}{25}\\cosx=+sqrt{frac{16}{25}}=frac{4}{5} \\sinx=tgxcdot cosx,; tak; kak; ; tgxcdot cosx=frac{sinx}{cosx}cdot cosx=sinx\\sinx=frac{3}{4}cdot frac{4}{5}=frac{3}{5}\\sin(arctgfrac{4}{5})=frac{3}{5}$

  Можно было найти sinx из формулы тригонометрической единицы

  $sin^2x=1-cos^2x; ; to ; ; sinx=pm sqrt{1-cos^2x},$

но тогда надо пояснить, что угол  х  находится в 1 четверти и надо брать знак (+) перед корнем, так как синусы углов 1 четверти больше 0. Это можно пояснить так: $x=arctgfrac{3}{4}; to ; tgx=frac{3}{4} textgreater 0; ; Rightarrow$ 

угол принадлежит либо 1, либо 3 четверти. А по определению арктангенса 

угол $-frac{pi }{2} textless x=arctgfrac{3}{4} textless frac{pi}{2}$ , то есть это угол 1 или 4 четверти. Значит , х принадлежит 1 четверти, где синусы углов положительны.