Question

Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах проверить результат дифференцированием.
1)$int{frac{1}{sin^{2}(3x-2)}dx$ 
2)$int{frac{tgx}{cos^{2}x}}, dx$ 
3)$int{xe^{-x}}, dx$ 
4)$intlimits^2_0 {sqrt{2x+5}} , dx$ 

Answer 1

$1) int{frac{1}{sin^{2}(3x-2)}dx=-frac{1}{3}ctg(3x-2)+C$

 

$(-frac{1}{3}ctg(3x-2)+C)'=-frac{1}{3}*(3x-2)'*(-frac{1}{sin^2(3x-2)})=frac{1}{sin^2(3x-2)}$

 

$2) int{frac{tgx}{cos^{2}x}}, dx=int{tgx}, d(tgx)=frac{tg^2x}{2}+C \ \ (frac{tg^2x}{2}+C)'=frac{1}{2}*2*tgx*(tgx)'=frac{tgx}{cos^2x}$

 

$3) int{xe^{-x}}, dx=[u=x du=dx dv=e^{-x}dx v=-e^{-x}]= \ \ = -xe^{-x}+int{e^{-x}}, dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C$

 

$4) intlimits^2_0 {sqrt{2x+5}} , dx=(frac{1}{3}(2x+5)^{3/2})[_0^2=frac{1}{3}*9*sqrt9- \ \ - frac{1}{3}*5*sqrt5=9-frac{5sqrt5}{3}$