Question

решить определенный интеграл

Answer 1

$int sqrt{1+3x^2}, dx=int frac{1+3x^2}{sqrt{1+3x^2}} dx=int frac{dx}{sqrt{1+3x^2}} +int frac{3x^2}{sqrt{1+3x^2}} dx=I\\a); ; int frac{dx}{sqrt{1+3x^2}}dx=[, t=sqrt3x; ,; dt=sqrt3, dx, ]=frac{1}{sqrt3}int frac{dt}{1+t^2}=\\=frac{1}{sqrt3}arctgt+C=frac{1}{sqrt3}arctg(sqrt3x)+C\\b)int frac{3xcdot x, dx}{sqrt{1+3x^2}}=[, u=x,; du=dx; ,; dv=frac{3x, dx}{sqrt{1+3x^2}}; ,; v=int frac{3x, dx}{sqrt{1+3x^2}}=\\=(t=1+3x^2,; dt=6x, dx)=$

$=frac{1}{2}int frac{dt}{sqrt{t}}=frac{1}{2}cdot 2sqrt{t}+C=sqrt{1+3x^2}, ]=xcdot sqrt{1+3x^2}-int sqrt{1+3x^2}, dx;\\\I=int sqrt{1+3x^2}, dx=frac{1}{sqrt3}arctg(sqrt3x)+xcdot sqrt{1+3x^2}-int sqrt{1+3x^2}, dx; Rightarrow \\2int sqrt{1+3x^2}, dx=frac{1}{sqrt3}arctg{sqrt3x}+xcdot sqrt{1+3x^2}+2C\\int sqrt{1+3x^2}, dx=frac{1}{2sqrt3}arctg(sqrt3x)+frac{x}{2}cdot sqrt{1+3x^2}+C$

 $int _0^1sqrt{1+3x^2}, dx=frac{1}{2sqrt3}arctg(sqrt3x)|_0^1+$$frac{x}{2}cdot sqrt{1+3x^2}|_0^1=$  

$=frac{1}{2sqrt3}arctgsqrt3+frac{1}{2}sqrt{4}=frac{1}{2sqrt3}cdot frac{pi}{3}+1=frac{pi sqrt3}{18}+1$