Question

решить определенный интеграл

Answer 1

Тригонометрическая постановка
x=tgt/√3, тогда 1+x²=1+tg²t=1/cos²t
dx=dt/√3cos²t
если х=0  tgt=0  t=0
если x=1, значит  tgt=√3,  t=π/3
$intlimits^1_0 { sqrt{1+3x^2} } , dx = intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{1}{ sqrt{3}cos^3x } } , dx=[1=cos^2x+sin^2x]= intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{cos^2x+sin^2x}{ sqrt{3}cos^3x } } , dx$

$intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{cos^2x}{ sqrt{3}cos^3x } } , dx+intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{sin^2x}{ sqrt{3}cos^3x } } , dx= intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{1}{ sqrt{3}cosx } } , dx+intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{sin^2xcosx}{ sqrt{3}cos^4x } } , dx= \ \ =intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{1}{ sqrt{3}cosx } } , dx+intlimits^{ frac{ pi }{3}} _0 { frac{sin^2xd(sinx)}{ sqrt{3}(1-sin^2x)^2 } } , dx$

Первый интеграл- есть в таблице, второй интеграл от дроби.
Или по формуле интегрирования по частям:
u=√(1+3x²); dv=dx