Question

в треугольнике abc угол c равен 90° ab=6, tga=2 на корень из 2. Найдите AC

Answer 1

Если есть проблемы с отображением, смотрите снимок ответа, который приложен к нему.
====
Смотрите рисунок, приложенный к ответу.
Рассмотрим $triangle ABC$. Из условия ясно, что он — прямоугольный (так как $angle C = 90^{circ}$). $AB = 6 cm$ — гипотенуза, $AC$ — искомый катет, $tg angle A = 2sqrt{2}$
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть: $tg angle A = frac{BC}{AC}$
Отсюда: $AC = frac{BC}{tg angle A}$
Как видим, оба катета неизвестны. Но есть выход — теорема Пифагора. Покажем теорему Пифагора для данного треугольника:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Как мы выяснили чуть выше $AC = frac{BC}{tg angle A}$.
Заменяем и получаем:
$AB^2 = (frac{BC}{tg angle A})^2 + BC^2$
Немного поколдуем:
$AB^2 = frac{BC^2}{tg^2 angle A} + BC^2 \ AB^2 = frac{BC^2 + BC^2 cdot tg^2 angle A}{tg^2 angle A} \ AB^2 = frac{BC^2( 1 + tg^2 angle A)}{tg^2 angle A}$
Отсюда найдем $BC$:
$AB^2 = frac{BC^2( 1 + tg^2 angle A)}{tg^2 angle A} \ BC^2 = frac{AB^2 cdot tg^2 angle A}{1+tg^2 angle A} \ BC = sqrt{frac{AB^2 cdot tg^2 angle A}{1+tg^2 angle A}}$
Теперь напомню зачем нам нужно было $BC:$
$AC = frac{BC}{tg angle A}$
Подставляем вместо $BC$ новую подстановку:
$AC = frac{sqrt{frac{AB^2 cdot tg^2 angle A}{1+tg^2 angle A}}}{tg angle A}$
Отлично. В формуле для нахождения ответа не осталось ни одной неизвестной. Подставляем то, что есть в формуле. Из условия:
$tg angle A = 2sqrt{2}, AB = 6 cm$
Найдем, наконец, $AC:$
$AC = frac{sqrt{frac{AB^2 cdot tg^2 angle A}{1+tg^2 angle A}}}{tg angle A} = frac{sqrt{frac{(6 cm)^2 cdot (2sqrt{2})^2}{1+(2sqrt{2})^2}}}{2sqrt{2}} = frac{sqrt{frac{36 cm^2 cdot 8}{1+8}}}{2sqrt{2}} =$
$= frac{sqrt{32 cm^2}}{2sqrt{2}} = sqrt{frac{32}{2} cm^2} cdot frac{1}{2} = sqrt{16 cm^2} cdot frac{1}{2} = 4 cm cdot frac{1}{2} = 2 cm$
Это ответ.