Question

$y= sqrt[3]{( 1-x^{2} )^2}$
НАЙТИ ВЫПУКЛОСТЬ,ПЕРЕГИБЫ ФУНКЦИИ(по производной второго порядка)

Answer 1

$y=(1- x^{2} )^{ frac{2}{3} } \ y'=frac{2}{3}(1- x^{2} )^{ frac{2}{3}-1 } *(-2x)= -frac{4x}{3} (1- x^{2} )^{ -frac{1}{3} }$
$y''=-frac{4}{3} (1- x^{2} )^{ -frac{1}{3} }+frac{4x}{9} (1- x^{2} )^{ -frac{1}{3}-1 }*(-2x)=$$-frac{4}{3} (1- x^{2} )^{ -frac{1}{3} }-frac{8x^{2}}{9} (1- x^{2} )^{ -frac{4}{3} }=-frac{4}{3}( frac{1}{ sqrt[3]{1- x^{2}} } +frac{2x^{2}}{ 3sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } })=$$-frac{4}{3}* frac{3(1-x^{2})+2x^{2}}{ 3sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } }=-frac{4}{3}* frac{3-x^{2}}{ 3sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } } \ y''=0 \ 3-x^{2}=0 \ x_{1}= sqrt{3} \ x_{2}=- sqrt{ 3} }$
ПЕРЕГИБЫ ФУНКЦИИ
$x_{1}= sqrt{3 } \ x_{2}=- sqrt{ 3 }$ ⇒ $y_{1} = y_{2} = sqrt[3]{(1-3){2}} = sqrt[3]{4}$ ⇒ (√3,∛4), (-√3,∛4)
функция выпуклый когда y''<0⇒x∈(-∞, -√3)∨(√3, +∞)

Answer 2

почему нарушение?

Answer 3

$f`(x)=2/3*(1-x^2) ^{-1/3} *(-2x)=-4x/3*(1-x^2) ^{-1/3}$
$f``(x)=-4/3*(1-x^2) ^{-1/3} -4x/3*(-1/3)*(1-x^2) ^{-4/3} *(-2x)=$$-4/3*(1-x^2) ^{-1/3} -8x^2/9*(1-x^2) ^{-4/3} =$$-4/9*(1-x^2) ^{-4/3} *[3(1-x^2)+2x^2]=-4[(3-x^2)/[9 sqrt[3]{(1-x^2)^4} ]=$0
3-x²=0
x²=3
x=-√3 U x=√3
             _                        +                        _
------------------(-√3)------------------(√3)------------------
выпук вверх        вогн вниз               выпук вверх
х=-√3   у=∛4
х=√3    у=∛4
(-√3;∛4) ;(√3;∛4)-точки перегиба

Answer 4

а откуда взялось -4/9 в 4 строке?