Question

номер 334 пожалуйста

Answer 1

Найти наибольший член в разложении бинома $( sqrt{5} + sqrt{2} )^{20}$

Разложение бинома можно записать в виде: $(a+b)^n=sumlimits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).

Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
$dfrac{x(k)}{x(k-1)} = dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = \ =dfrac{ frac{n!}{k!(n-k)!} }{ frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} = dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } = \ =dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } = dfrac{b}{a} cdot dfrac{n-k+1 }{ k }$

По условию: $a= sqrt{5}$; $b= sqrt{2}$; $n=20$. Тогда:
$dfrac{x(k)}{x(k-1)}=dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{20-k+1 }{ k } =dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{21-k }{ k } =dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right)$

Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
$dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right) textgreater 1 \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{5} }{ sqrt{2} } \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2}+1 \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ 2+sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{42 }{ k } textgreater 2+sqrt{10} \\ dfrac{k }{ 42 } textless dfrac{1}{2+sqrt{10} } \\ k textless dfrac{42}{2+sqrt{10} }$
$k textless dfrac{42(2-sqrt{10})}{(2+sqrt{10})(2-sqrt{10}) } \ k textless dfrac{84-42sqrt{10}}{4-10} \ k textless - dfrac{84-42sqrt{10}}{6} \ k textless - (14-7sqrt{10}) \ k textless 7sqrt{10}-14 ( sqrt{10} approx3.16Rightarrow 7sqrt{10}-14 approx8.12) \ k textless 8.12$

Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
$x_{max}=C_{20}^8( sqrt{5} )^{20-8}cdot( sqrt{2} )^8= frac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8} cdot( sqrt{5} )^{12}cdot( sqrt{2} )^8= \ = 19cdot17cdot15cdot2cdot13 cdot5^6cdot2^4= 19cdot17cdot13 cdot5^7cdot3cdot2^5=31492500000$

Ответ: 31492500000