Ответы
Ответ дал:
0
Найти наибольший член в разложении бинома ![( sqrt{5} + sqrt{2} )^{20} ( sqrt{5} + sqrt{2} )^{20}](https://tex.z-dn.net/?f=%28+sqrt%7B5%7D+%2B+sqrt%7B2%7D+%29%5E%7B20%7D)
Разложение бинома можно записать в виде:![(a+b)^n=sumlimits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k (a+b)^n=sumlimits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k](https://tex.z-dn.net/?f=%28a%2Bb%29%5En%3Dsumlimits_%7Bk%3D0%7D%5EnC_n%5Eka%5E%7Bn-k%7Db%5Ek)
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).
Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
![dfrac{x(k)}{x(k-1)} = dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} =
\
=dfrac{ frac{n!}{k!(n-k)!} }{ frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } =
\
=dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{n-k+1 }{ k } dfrac{x(k)}{x(k-1)} = dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} =
\
=dfrac{ frac{n!}{k!(n-k)!} }{ frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } =
\
=dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{n-k+1 }{ k }](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bx%28k%29%7D%7Bx%28k-1%29%7D+%3D+dfrac%7BC_n%5E%7Bk%7Da%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7BC_n%5E%7Bk-1%7Da%5E%7Bn-%28k-1%29%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+dfrac%7BC_n%5E%7Bk%7D%7D%7BC_n%5E%7Bk-1%7D%7D+cdot+dfrac%7Ba%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7Ba%5E%7Bn-%28k-1%29%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+%0A%5C%0A%3Ddfrac%7B+frac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D+%7D%7B+frac%7Bn%21%7D%7B%28k-1%29%21%28n-%28k-1%29%29%21%7D+%7D+cdot+dfrac%7Ba%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7Ba%5E%7Bn-k%2B1%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+%0Adfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7B%28k-1%29%21%28n-k%2B1%29%21+%7D%7B+k%21%28n-k%29%21+%7D+%3D+%0A%5C%0A%3Ddfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7B%28k-1%29%21%28n-k%2B1%29%28n-k%29%21+%7D%7B+k%28k-1%29%21%28n-k%29%21+%7D+%3D+%0Adfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7Bn-k%2B1+%7D%7B+k+%7D+)
По условию:
;
;
. Тогда:
![dfrac{x(k)}{x(k-1)}=dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{20-k+1 }{ k } =dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{21-k }{ k }
=dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right) dfrac{x(k)}{x(k-1)}=dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{20-k+1 }{ k } =dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot dfrac{21-k }{ k }
=dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right)](https://tex.z-dn.net/?f=dfrac%7Bx%28k%29%7D%7Bx%28k-1%29%7D%3Ddfrac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B5%7D+%7Dcdot+dfrac%7B20-k%2B1+%7D%7B+k+%7D+%3Ddfrac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B5%7D+%7Dcdot+dfrac%7B21-k+%7D%7B+k+%7D+%0A%3Ddfrac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B5%7D+%7Dcdot+left%28dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D+-1right%29)
Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
![dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right) textgreater 1 \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{5} }{ sqrt{2} } \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2}+1 \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ 2+sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{42 }{ k } textgreater 2+sqrt{10} \\ dfrac{k }{ 42 } textless dfrac{1}{2+sqrt{10} } \\ k textless dfrac{42}{2+sqrt{10} } dfrac{ sqrt{2} }{ sqrt{5} }cdot left(dfrac{21 }{ k } -1right) textgreater 1 \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{5} }{ sqrt{2} } \\ dfrac{21 }{ k } -1 textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ sqrt{10} }{ 2}+1 \\ dfrac{21 }{ k } textgreater dfrac{ 2+sqrt{10} }{ 2} \\ dfrac{42 }{ k } textgreater 2+sqrt{10} \\ dfrac{k }{ 42 } textless dfrac{1}{2+sqrt{10} } \\ k textless dfrac{42}{2+sqrt{10} }](https://tex.z-dn.net/?f=dfrac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B5%7D+%7Dcdot+left%28dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D+-1right%29+textgreater++1+%5C%5C+dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D+-1+textgreater++dfrac%7B+sqrt%7B5%7D+%7D%7B+sqrt%7B2%7D+%7D+%5C%5C+dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D+-1+textgreater++dfrac%7B+sqrt%7B10%7D+%7D%7B+2%7D+%5C%5C+dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D++textgreater++dfrac%7B+sqrt%7B10%7D+%7D%7B+2%7D%2B1+%5C%5C+dfrac%7B21+%7D%7B+k+%7D++textgreater++dfrac%7B+2%2Bsqrt%7B10%7D+%7D%7B+2%7D+%5C%5C+dfrac%7B42+%7D%7B+k+%7D++textgreater++2%2Bsqrt%7B10%7D+%5C%5C+dfrac%7Bk+%7D%7B+42+%7D++textless+++dfrac%7B1%7D%7B2%2Bsqrt%7B10%7D+%7D+%5C%5C+k+++textless++dfrac%7B42%7D%7B2%2Bsqrt%7B10%7D+%7D++)
![k textless dfrac{42(2-sqrt{10})}{(2+sqrt{10})(2-sqrt{10}) }
\
k textless dfrac{84-42sqrt{10}}{4-10} \ k textless - dfrac{84-42sqrt{10}}{6} \ k textless - (14-7sqrt{10}) \ k textless 7sqrt{10}-14 ( sqrt{10} approx3.16Rightarrow 7sqrt{10}-14 approx8.12) \ k textless 8.12 k textless dfrac{42(2-sqrt{10})}{(2+sqrt{10})(2-sqrt{10}) }
\
k textless dfrac{84-42sqrt{10}}{4-10} \ k textless - dfrac{84-42sqrt{10}}{6} \ k textless - (14-7sqrt{10}) \ k textless 7sqrt{10}-14 ( sqrt{10} approx3.16Rightarrow 7sqrt{10}-14 approx8.12) \ k textless 8.12](https://tex.z-dn.net/?f=k+++textless++dfrac%7B42%282-sqrt%7B10%7D%29%7D%7B%282%2Bsqrt%7B10%7D%29%282-sqrt%7B10%7D%29+%7D+%0A%5C%0Ak++textless++dfrac%7B84-42sqrt%7B10%7D%7D%7B4-10%7D+%5C+k++textless++-+dfrac%7B84-42sqrt%7B10%7D%7D%7B6%7D+%5C+k++textless++-+%2814-7sqrt%7B10%7D%29+%5C+k++textless++7sqrt%7B10%7D-14++%28+sqrt%7B10%7D+approx3.16Rightarrow+7sqrt%7B10%7D-14+approx8.12%29+%5C+k+textless++8.12)
Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
![x_{max}=C_{20}^8( sqrt{5} )^{20-8}cdot( sqrt{2} )^8= frac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8} cdot( sqrt{5} )^{12}cdot( sqrt{2} )^8=
\
= 19cdot17cdot15cdot2cdot13 cdot5^6cdot2^4=
19cdot17cdot13 cdot5^7cdot3cdot2^5=31492500000 x_{max}=C_{20}^8( sqrt{5} )^{20-8}cdot( sqrt{2} )^8= frac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8} cdot( sqrt{5} )^{12}cdot( sqrt{2} )^8=
\
= 19cdot17cdot15cdot2cdot13 cdot5^6cdot2^4=
19cdot17cdot13 cdot5^7cdot3cdot2^5=31492500000](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bmax%7D%3DC_%7B20%7D%5E8%28+sqrt%7B5%7D+%29%5E%7B20-8%7Dcdot%28+sqrt%7B2%7D+%29%5E8%3D+frac%7B20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13%7D%7B1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8%7D+cdot%28+sqrt%7B5%7D+%29%5E%7B12%7Dcdot%28+sqrt%7B2%7D+%29%5E8%3D%0A%5C%0A%3D+19cdot17cdot15cdot2cdot13+cdot5%5E6cdot2%5E4%3D%0A+19cdot17cdot13+cdot5%5E7cdot3cdot2%5E5%3D31492500000)
Ответ: 31492500000
Разложение бинома можно записать в виде:
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).
Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
По условию:
Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
Ответ: 31492500000
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад