Question

cosx(2cosx + tgx)=1
(2sin^2x-sin2x-2cos2x)/под корнем 1-x^2=0
помогите. 20 б

Answer 1

$cos x(2cos x+tg x)=1$
ОДЗ $cos xne 0$ отсюда $x ne frac{pi}{2}+ pi n,n in Z$

Раскроем скобки

$2cos^2x+sin x=1\ \ 2(1-sin^2x)-(1-sin x)=0\ \ 2(1-sin x)(1+sin x)-(1-sin x)=0\ \ (1-sin x)(2+2sin x-1)=0\ \ (1-sin x)(2sin x+1)=0\ \ left[begin{array}{ccc}1-sin x=0\ 2sin x+1=0end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}sin x=1\ sin x=-0.5end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}x_1=frac{pi}{2}+2 pi k,k in Z\ x_2=(-1)^{n+1}frac{pi}{6}+ pi n,n in Zend{array}right$

Первый корень не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: x=(-1)ⁿ⁺¹ ·п/6 + пn, где n - целые числа

$dfrac{2sin^2x-sin2x-2cos2x}{sqrt{1-x^2}}=0$

ОДЗ: $displaystyle left { {{1-x^2 geq 0} atop {1-x^2ne 0}} right. Rightarrow,,, 1-x^2 textgreater 0,,, Rightarrow,,, |x| textless 1,,,, Rightarrow,,,, boxed{-1 textless x textless 1}$
Дробь обращается в ноль, тогда и только тогда, когда числитель равен нулю
$2sin^2x-sin2x-2cos2x=0$
$2sin^2x-2sin xcos x-2(cos^2x-sin^2 x)=0\ 2sin^2x-2sin xcos x-2cos^2x+2sin^2x=0\ 4sin^2x-2sin xcos x-2cos^2x=0|:(cos^2xne0)\ 4tg^2x-2tgx-2=0|:2\ 2tg^2x-tgx-1=0$
Пусть tg x = t, тогда имеем квадратное уравнение вида:
$2t^2-t-1=0\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4cdot2cdot(-1)=1+8=9\ sqrt{D}=3\ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a}= frac{1+3}{2cdot2} =1 ;\ t_2= frac{-b- sqrt{D} }{2a}= frac{1-3}{2cdot2}=-0.5$

Обратная замена

$left[begin{array}{ccc}tgx=1\ tgx=-0.5end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}x_1= frac{pi}{4}+ pi n,n in Z\ x_2=-arctg0.5+ pi n,n in Z end{array}right$

Отберем корни из ОДЗ:

Для корня $x= frac{pi}{4}+ pi n,n in Z$
Если $n=0$, то $x= frac{pi}{4}in (-1;1)$

Для корня $x=-arctg0.5+ pi n,n in Z$
Если $n=0$, то $x=-arctg0.5in (-1;1)$


Ответ: x = п/4, x = -arctg 0.5