Question

Дано комплексное число z . Требуется:
1) Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) Выразить число z=1-i в тригонометрической форме.
3) Найти z^3 , ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах.
z =(2корня из 2)/1+i

Answer 1

1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме:
z = a + b*i
Оно же в тригонометрической форме:
z = r*(cos Ф + i*sin Ф)
Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)

2) z = 1 - i
a = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4
z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))

3) $z= frac{2 sqrt{2} }{1+i}$
Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:
Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.
$z= frac{2 sqrt{2}(1-i) }{(1+i)(1-i)} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{1-i^2} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{2} =sqrt{2}(1-i)=sqrt{2}-isqrt{2}$
Теперь переведем его в тригонометрическую форму
$z=sqrt{2}-isqrt{2}=2( frac{1}{ sqrt{2} } -i* frac{1}{ sqrt{2} } )=2(cos(- frac{ pi }{4})+i*sin(- frac{ pi }{4} ) )$
Здесь нам помог номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.
По формуле Муавра для степени и корня комплексного числа:
z^n = r^n*(cos(n*Ф) + i*sin(n*Ф))
$z^3=2^3(cos(- frac{3 pi }{4} )+i*sin(- frac{3 pi }{4} ))=8(- frac{ sqrt{2} }{2} -i frac{ sqrt{2} }{2} )=-4 sqrt{2}-4i sqrt{2}$