Question

В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом С проведена биссектриса EF,причем FC=13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE

Answer 1

Обозначим минимальное расстояние от F до гипотенузы, как FH. Рассмотрим треугольники ECF и EHF. Они равны по у.с.у. (EF - общая сторона) Следовательно, CF = HF = 13 см
Ответ: 13 см

Answer 2

Смотрите рисунок к задаче, который приложен к ответу. На рисунке есть все построения, описанные в задаче, а именно: $triangle CDE$ с прямым углом $angle C = 90^{circ}$, EF — биссектриса $angle E$, $CF = 13$, FG — искомый отрезок.
==========
Решение:
Докажем, что $triangle CEF = triangle EFG$.
1) Так как $EF$ — биссектриса, то $angle GEF = angle CEF$ (биссектриса $EF$ делит $angle E$ на два равные угла).
2) $angle C =angle FGE = 90^{circ}$ (это следует из условия: так как $triangle CDE$ прямоугольный, то и $angle C = 90^{circ}$; так как $FG$ — расстояние от $F$ до $DE$, то $angle FGE = 90^{circ}$).
3) Так как $angle C =angle FGE$ и $angle GEF = angle CEF$, то и третий угол первого треугольника равен третьему углу второго треугольника: $angle GFE = angle EFC$. Это следует из того факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда можно записать так:
$angle C + angle CFE + angle CEF = 180^{circ} \ angle FGE + angle GEF + angle GFE = 180^{circ}$
Отсюда:
$angle CFE = 180^{circ} - (angle C + angle CEF)\ angle GFE = 180^{circ} - (angle FGE + angle GEF)$
Суммы в скобках в обоих уравнениях равны (так как, как я уже отмечал выше, углы, составляющие те суммы, равны), а значит равны и разности в обоих уравнениях, а значит $angle CFE = angle GFE$.

3) Сторона $EF$ является для обоих треугольников общей.
Собранных сведений достаточно, чтобы заключить, что $triangle CEF = triangle EFG$ (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам ($EF$ — сторона, а $angle GEF = angle CEF ,,,, angle GFE = angle EFC$ — два прилежащих угла)).
Раз треугольники равны, то и все их их соответственные элементы равны. Видим, что искомой стороне $FG$ соответствует $CF$, тогда:
$FG = CF = 13$
Ответ: 13. 
=========
Ответ можно проверить, геометрически (линейкой) измерив искомый отрезок $FG$. Смотрите второй рисунок.