Question

В остроугольном треугольнике АВС величина угла при вершине А относится к величине угла при вершине С как 7:6. Найдите углы данного треугольника, если отрезок, соединяющий центры его вписанной и описанной окружностей, виден из вершины В под углом 5 градусов.

Answer 1

Я строю описанную окружность, и провожу из точки B диаметр этой окружности BB1 и биссектрису BM (точки B1 и M лежат на окружности, причем M - середина дуги AC, что в решении не пригодится).
По условию угол между ними 5°;
Если соединить другой конец диаметра B1 с вершиной A, то ∠BB1A = ∠BCA;
Если обозначить ∠BCA = 6x; ∠BAC = 7x; то ∠MBA = (180° - 6x - 7x)/2 = 90° - 13x/2;
Ну, и ∠B1AB = 90°;
Получается ∠B1BA - ∠MBA = (90° - 6x) - (90° - 13x/2) = 5°; x = 10°
углы 60°, 70° и 50°