Question

Найдите точку минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащую промежутку (0; π/2)

Answer 1

Находим производную:
y'= (1-2x)'cosx+(1-2x)sin'x+7'=y'= -2cosx-(1-2x)sinx+2cosx=(2x-1)sinx
y'=(2x-1)sinx, запишем уравнение (2x-1)sinx=0, (x-1/2)sinx=0
построим интервалы знакопостоянства на промежутке (0; π/2)
0__-__1/2__+__π/2
значит при x∈(0;1/2] y(x) убывает, при x∈[1/2;π/2) y(x) возрастает
значит на промежутке (0;π/2) минимум функции достигается в точке
x=1/2, y=(1-2*1/2)cos(1/2)+2sin(1/2)+7=2sin(1/2)+7
Ответ: x=1/2, y=2sin(1/2)+7≈7,96 

Answer 2

Производная функции:
$y'=(1-2x)'cos x+(1-2x)cdot (cos x)'+(2sin x)'+(7)'=\ \ =-2cos x-sin x(1-2x)+2cos x=-sin x(1-2x)$
Приравниваем ее к нулю:
$y'=0;,,, (2x-1)sin x=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$2x-1=0\ x=0.5$

$sin x=0\ \ x=arcsin0+pi n,n in mathbb{Z}\ x= pi n,n in mathbb{Z}$
Для всех $n in mathbb{Z}$, все корни не будут принадлежать заданному отрезку.


___-___(0,5)___+_____

В точке $x=0.5$ функция имеет локальный минимум.
$y(0.5)=2sin(0.5)+7= 0.95+7approx7.95$


$(0.5;7.95),,, -$ относительный минимум