Question

Методом математической индукции по n ∈ N доказать

Answer 1

$frac{1}{2!}+ frac{2}{3!}+...+ frac{n}{(n+1)!}=1- frac{1}{(n+1)!}$

Докажем равенство методом математической индукции:

1) Проверим справедливость равенства для n=1

$frac{1}{(1+1)!}= frac{1}{2!}=1- frac{1}{2}$

Равентство справедливо

2) Предположим что равенство справедливо для n=k
докажем справедливость равенства для n=k+1

$(frac{1}{2!}+ frac{2}{3!}+...+ frac{k}{(k+1)!})+ frac{k+1}{(k+2)!}= 1- frac{1}{(k+1)!}+ frac{k+1}{(k+2)!}=$

$= frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}+ frac{k+1}{(k+2)!}= frac{((k+1)!-1)*(k+2)+(k+1)}{(k+2)!}= frac{(k+2)!-k-2+k+1}{(k+2)!}=$

$= frac{(k+2)!-1}{(k+2)!}=1- frac{1}{(k+2)!}$

т.к. равенство справедливо для n=k+1

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.