Question

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126∘ и 99∘.

Answer 1

Если середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин, то точка М - это центр описанной окружности АВСD и AD - её диаметр.
Сумма углов А и D равна 360-126-99 = 135 градусов.
Если продлить стороны АВ и СД до их пересечения в точке Е, то получим треугольник с углом при вершине Е в 180-135 = 45 градусов.
ЕА и ЕД - это секущие к окружности.
По свойству секущей угол в 45° = (1/2)(180°- ВС).
Отсюда дуга ВС = 180°- 90° = 90°, значит, и угол ВМС равен 90°.
Из треугольника ВМС радиус описанной окружности равен  11/√2, а сторона АД = 22/√2 или 11√2.