Question

интеграл Sin^3x*sqrt(cosx) dx ? Подробнее пожалуйста

Answer 1

$int sin^3 x sqrt{cos x} dx=$
замена
$cos x=t; d(cosx)=-sin x dx=dt;$

$sin^3 x dx=-sin^2 x*(-sin x dx)=$
$-(1-cos^2 x)*(-sin x dx)=\\-(1-t^2)*dt=(t^2-1)dt$
Получим
$int (t^2-1) sqrt{t} dt=int (t^2-1)*t^{frac{1}{2}} dt=int t^{frac{5}{2}}-t^{frac{1}{2}}dt$
интеграл разности = разности интегралов и формула интеграл от степенной функции $int x^n=frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$frac{t^{frac{7}{2}}}{frac{7}{2}}-frac{t^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}}+C=$
$frac{2}{7} (cos x)^{frac{7}{2}}-frac{2}{3}(cos x)^{frac{3}{2}}+C=$
$frac{2}{7} cos^3x sqrt{cos x}-frac{2}{3}cos xsqrt{x}+C$