Question

Решите пожалуйста log|x|(x-1)^2<=2

Answer 1

$tt log_{|x|}(x-1)^2 leqslant 2$

Рассмотрим функцию $tt f(x)=log_{|x|}(x-1)^2-2$. Функция существует, когда под логарифмическое выражение положительно и основание логарифма положительно и не равен 1.

$tt left{begin{array}{ccc}|x|>0\ |x|ne1\ (x-1)^2>0end{array}right~~~Rightarrow~~left{begin{array}{ccc}x>0\ xnepm1\ xin (-infty;1)cup(1;+infty)end{array}right$

Область определения функции: $tt D(f)=(-infty;-1)cup(-1;0)cup(0;1)cup(1;+infty).$

Найдем теперь нули функции: f(x)=0. Имеем

$tt log_{|x|}(x-1)^2-2=0\ log_{|x|}(x-1)^2=log_{|x|}|x|^2\ \ (x-1)^2=x^2\ (x-1)^2-x^2=0$

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов.

$tt (x-1-x)(x-1+x)=0\ -(2x-1)=0\ x=0.5$

Ответ: $tt dfrac{x in(-1;0)cup(0;0.5]cup(1;+infty).}{}$