Question

Неопределенный интеграл

Answer 1

$I=int {frac{(x+5)-1}{(x+5)^2+1}} dx=intlimits frac{x+5}{(x+5)^2+1} dx-intlimits frac{1}{(x+5)^2+1} dx=I_1+I_2.$
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
$I_1 = int {frac{x+5}{(x+5)^2+1} d(x+5)}=[ {{x+5=u}}] = int frac{udu}{u^2+1} = frac{1}{2} int frac{d(u^2+1)}{(u^2+1)}= \ = frac{1}{2} ln(u^2+1)+C_1 = frac{1}{2} ln(x^2+10x+26)+C_1 .$
$I_2 = int {frac{1}{(x+5)^2+1} d(x+5)}=[ {{x+5=t}}] = int frac{dt}{t^2+1} = arctg t+C_2= \ = arctg(x+5)+C_2.$
=> $I = frac{1}{2} ln(x^2+10x+26)-arctg(x+5)+C.$

Answer 2

Благодарю1