Question

к какому типу лексики относятся слова трепыхаться и бытие

Answer 1

трепыхаться - просторечное слово, относится к разговорной лексике. Значение по тексту - дергаться , обычно говорят рыбаки  - трепыхается рыба . И как мне кажется, в этом значении употреблено слово в тексте
Бытие - пришло в нашу речь из церковно-славянского языка, что означало- ветхозаветную книгу.
А в тексте употреблено в значении "жизнь","существование." Относится к устаревшей лексике, традиционно-поэтической, высокой.