Question

Треугольник с вершинами А(-2;0), B(14;12) и C(0;14) вписан в круг. Найдите площадь этого круга

Answer 1

Вершины треугольника - это концы соответствующих векторов.
Пусть вектор а = вектор ВС, вектор b=вектор АС и вектор с=векторАВ.
Найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.
Тогда вектор а(Хс-Хb;Yc-Yb)=a(0-14;14-12)=a(-14;2).
Вектор b(Хс-Хa;Yc-Ya)=b(0-(-2);14-0)=b(2;14).
Вектор c (Хb-Хa;Yb-Ya)=с(14-(-2);12-0)=с(16;12).
Найдем длины сторон треугольника (модули векторов а, b и с).
Модуль или длина вектора: |a|=√(Хa²+Ya²).
Тогда |a|=√(Хa²+Ya²)=√(196+4)=10√2.
|b|=√(Хb²+Yb²)=√(4+196)=10√2.
|c|=√(Хc²+Yc²)=√(286+144)=20.
Формула радиуса описанной окружности:
R=a*b*c/4S, где a,b,c -стороны треугольника, р - его полупериметр.
В нашем случае полупериметр равен 10+10√2.
Тогда по формуле Герона:
S=√[(10+10√2)*10*10*[(10√2)²-10²)] или
S=100.
R=a*b*c/4S=(10√2*10√2*20)/(4*100)=10.
Площадь круга равна Sк=πR².
В нашем случае Sк=π*100.
Ответ: S=100π.