Question

Высота правильной треугольной призмы равна Н.Прямая проходящая через центроид основания и середину стороны нижнего основания, образует с плоскостью основания угол a(альфа).Найти полную поверхность призмы.

Answer 1

ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма. Это значит, что в основании правильный треугольник, и она прямая. Через центр верхнего основания O провели прямую, которая пересекает ребро нижнего основания BC в точке N. Пусть A1M - медиана треугольника A1B1C1 из угла A1. Тогда MN || BB1, MN = H, где H - высота. Очевидно, что MN⊥(ABC), т.е. плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN. По условию, ∠O = α. Тогда OM = H * ctg(α). Теперь рассмотрим треугольник A1B1C1. Так как A1M - медиана, а O - точка пересечения медиан, то A1M = 3 * OM = 3Hctg(α). Теперь найдем A1B1 из треугольника A1B1M. Это прямоугольный треугольник, поскольку A1M в равностороннем треугольнике A1B1C1 является еще и высотой. Тогда A1B1 = A1M / sin∠B1 = 3Hctg(α) / (√3/2) = 2√3Hctg(α). B1C1 = A1B1. Далее находим S_A1B1C1 = 1/2 * B1C1 * A1M = 1/2 * 2√3Hctg(α) * 3Hctg(α) = 3√3H²ctg²(α). Далее ищем площадь боковой поверхности.
Sб.п. = H * P_A1B1C1, где P_A1B1C1 - периметр треугольника A1B1C1. Sб.п. = H * (3 * 2√3Hctg(α)) = 6√3H²ctg(α).
Дальше находим площадь полной поверхности:
Sп.п. = 2 * S_A1B1C1 + Sб.п. = 2 * 3√3H²ctg²(α) + 6√3H²ctg(α) = 6√3H²ctg(α)(ctg(α) + 1)