Question

Помогите с дифф. уравненем. y'+(2y)/x=1/x^3

Answer 1

$y'+ frac{2y}{x} = frac{1}{x^{3} }$
Для начала решим однородное дифф.ур-е, т.е ур-е без правой части
$frac{dy}{2y} =- frac{dx}{x}\ intlimits^} , frac{dy}{2y}= intlimits^} ,-frac{dx}{x}$
$frac{1}{2} ln(y)=-ln(x)+C$
$e^{ x^{ frac{1}{2}} } =e^{ x^-1}+C}$
$sqrt{y}= frac{C}{ x}$
$y= frac{C^{2} }{ x^{2}}$ квадрат постоянной,равен самой постоянной

$y= frac{C}{ x^{2}}$
Теперь, считаем, что C - это функция от x
$y= frac{C(x)}{ x^{2}}$
подставляем в исходное уравнение
$(frac{C(x)}{ x^{2}})'+ frac{2y}{x}= frac{1}{ x^{3}}$
$frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* (x^{2})' }{x^{4} } +frac{2y}{x}= frac{1}{ x^{3}}$

$frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* 2x }{x^{4} } +frac{2y}{x}= frac{1}{ x^{3}}$
преобразовывая данное уравнение получим:
$frac{dC(x)}{dx} = frac{1}{x} \ C(x)=lnx+C2$
общее решение дифференциального уравнения
$y= frac{lnx+C2}{ x^{2}}$