Question

На окружности выбрано N точек. Сколько существует вариантов соединения этих точек, если они не пересекаются?

Answer 1

не пересекающихся хорд будет 2N-3. Хорды и есть варианты.

Answer 2

С чего взяли это?

Answer 3

А над этим стоит задуматься. Задачка интереснее становится.

Answer 4

Если я не буду соединять точки вообще, то это будет считаться способом, наверное)

Answer 5

"вариантов соединения между собой" - это не ответ на все вопросы?

Answer 6

Наберите в гуг-ле Ибрагимова Р.Ф. Разбиение выпуклых многоугольников и числа ... Там ПДФ документ. Автор Ибрагимов. Как раз ваша задачка. Мое решение не полное. Отметьте, его, пожалуйста нарушением.

Answer 7

Вроде придумал решение. Пусть число способов соединить n точек на окружности равно F(n). Пронумеруем точки на окружности от 0 до n-1. Возьмем точку n-1.
Рассмотрим два непересекающихся случая:
1) Она не имеет у себя пары. Тогда число способов это устроить равно F(n-1)
2) Она имеет себе пару. Теперь происходит выбор кандидатов.
Пусть ее пара точка 0. Тогда число способов это устроить равно F(количество точек между 0 и n-1 в одном направлении) * F(количество точек между 0 и n-1 в другом направлении) = F(0)*F(n-2). То есть мы этим отрезком разбиваем все множество точек на две половины, считаем ответ на каждой половине, а потом по правилу произведения их умножаем.
Дальше ее парой может быть точка 1. Поступаем аналогично, здесь будет F(1)*F(n-3), так как в одном направлении лишь точка 0, в другом направлении точки 2,3,..,n-2.
Аналогично рассуждаем и доходим до F(n-2)*F(0).
Суммируем получившиеся способы и получаем:
F(n) = F(n-1) + F(0)*F(n-2)+F(1)*F(n-3)+..+F(n-3)*F(1)+F(n-2)*F(0).
Начальные значения:
F(0) = F(1) = 1,
F(2) = 2 (мы можем соединять или не соединять две точки)
По этим данным можно находить F(3), F(4) и т. д.
Для F(3) = F(2) + F(0)*F(1) + F(1)*F(0) = 2 + 1 + 1 = 4.
Перечислим эти способы:
1) ничего не связано
2) связаны только 0, 1
3) связаны только 0, 2
4) связаны только 1, 2