Question

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя
след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на (a, b)
(где a, b – целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами
(x, y) в точку с координатами (x + a, y + b). Чертёжнику был дан для исполнения
следующий алгоритм:
Например, если Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда
сместиться на (2, −3) переместит Чертёжника в точку (6, −1).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз
(число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм (буквами n, a, b
обозначены неизвестные числа, при этом n > 1):
НАЧАЛО
сместиться на (-1, -2)
ПОВТОРИ n РАЗ
сместиться на (a, b)
сместиться на (-1, -2)
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на (-20, -12)
КОНЕЦ

Какое наибольшее число повторений могло быть указано в конструкции
«ПОВТОРИ n РАЗ»?

Answer 1

Пусть исходные координаты чертежника (x;y). Смоделируем алгоритм:
0) (x;y)
1) (x-1;y-2)
2) n раз делается одно и то же: первая координата изменяется на a, затем из нее вычитается 1, вторая координата изменяется на b, затем вычитается 2. В результате координаты равны:
(x-1+n*(a-1); y-2+n*(b-2))
3) (x-1+n*(a-1)-20; y-2+n*(b-2)-12)
Концом работы программы является попадание в стартовую позицию. То есть x-1+n*(a-1)-20=x => n*(a-1)=21
y-2+n*(b-2)-12=y => n*(b-2)=14
Тогда n нужно искать среди делителей чисел 21 и 14. Точнее ответом будет НОД(21, 14)=7.