Question

В разложении бинома $(x^{2} sqrt{x} - frac{2}{x^{2} } )^n$ биномиальный коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 1:2. Выпишите члены разложения,не содержащие иррациональность.

Answer 1

Пятый биномиальный коэффициент разложения равен C(n,4). Третий биномиальный коэффициент равен C(n,2). По условию, C(n,4)/C(n,2)=1/2
2*C(n,4)=C(n,2)
2*n!/((n-4)!*4!)=n!/((n-2)!*2!)
2 / 4! = 1/((n-2)(n-3)*2!)
(n-2)(n-3)=6
n^2-5n=0
Отсюда n=5.
Общий вид члена разложения бинома Ньютона при n=5 выглядит так:
$C(5,k)*( x^{2} sqrt{x} )^{5-k}* (-frac{2}{x^{2}} )^{k}=$
$C(5,k)*x^{2.5(5-k)}*(-1)^{k}*2^{k}*x^{-2k}=$
$(-1)^{k}*C(5,k)*2^{k}*x^{12.5-4.5k}$
Очевидно, что иррациональности не будет, если k нечетное.
Выпишем 2-й (k=1), 4-й (k=3) и 6-й (k=5) члены разложения:
k=1: $(-1)^{1}*C(5,1)*2^{1}*x^{12.5-4.5*1}=- 10x^{8}$
k=3: $(-1)^{3}*C(5,3)*2^{3}*x^{12.5-4.5*3}=- frac{80}{x}$
k=5: $(-1)^{5}*C(5,5)*2^{5}*x^{12.5-4.5*5}=- frac{32}{x^{10}}$