Question

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15. Если к этим членам соответственно прибавить 1; 3 и 9 то получатся первые три члена возрастающей геометрической прогрессии. Найдите первые семь членов этой геометрической прогрессии.

Answer 1

Согласно условию пусть а1, а2 и а3 - члены арифм.прогрессии. Тогда (а1+1), (а2+3) и (а3+9) - члены геом прогрессии.
Получим систему:
$begin{cases} a_1+a_2+a_3=15 \ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) end{cases}\ begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) end{cases}\ begin{cases} 3a_1+3d=15 \ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) end{cases}\ begin{cases} a_1+d=5 \ (a_1+d+3)^2=(a_1+1)(a_1+d+d+9) end{cases}\ begin{cases} a_1=5-d \ (5+3)^2=(5-d+1)(5+d+9) end{cases}$
$begin{cases} a_1=5-d \ 64=(6-d)(14+d) end{cases}\ d^2+8d-20=0$
d = 10 или d = -2
При d = 10 получим арифметическую прогрессию 15; 5; -5. 
Соответствующая ей геом.прогрессия есть 16; 8; 4 - не является возрастающей.
Значит, d = -2 - разность искомой арифм.прогрессии.
Соответствующая ей геом.прогрессия есть 4; 8; 16 - является возрастающей.
Итак:
$b_1=4, b_2=8, b_3=16, b_4=32, b_5=64, b_6=128, b_7=256.$