Question

Исследовать функцию и составить график (x^2+1)/2x
Расписать!

Answer 1

Исследовать функцию: $f(x)= frac{x^2+1}{2x}$
    • Область определения функции:
               $xne 0\ D(f)=(-infty;0)cup(0;+infty)$
• Точки пересечения с осью Ох и Оу:
     Точки пересечения с осью Ох: нет.
     Точки пересечения с осью Оу: Нет.
• Периодичность функции.
     Функция  не периодическая.
• Критические точки, возрастание и убывание функции:
    1. Производная функции:
$f'(x)= frac{(x^2+1)'cdot 2x-(x^2+1)cdot(2x)'}{(2x)^2} = frac{x^2-1}{x^2}$
    2. Производная равна 0.
$f'(x)=0;,,x^2-1=0;,,,,Rightarrow,,,,x=pm1$

___-__(-1)____+__(0)____-___(1)___+___

х=-1 - точка минимума
х=1 - точка минимума

f(1) = 1 - Относительный минимум
f(-1) = -1 - Относительный минимум

Функция возрастает на промежутке: x ∈ (-1;0) и (1;+∞), а убывает на промежутке: (-∞;-1) и (0;1).

• Точка перегиба:
  $f''(x)= frac{(x^2-1)'2x^2-(x^2-1)cdot(2x^2)'}{(2x^2)^2} = frac{1}{x^3}$
Очевидно что точки перегиба нет, т.к. $f''(x)ne 0$

• Вертикальные асимптоты: $x=0.$

• Горизонтальные асимптоты: $lim_{xto pm infty} f(x)=pm infty$

• Наклонные асимптоты: $lim_{x to infty} ( frac{1}{2x} +0.5x)=0.5x$

График приложен