Question

Вычислить интеграл (sin^2) x на промежутке (0;pi/2).

Answer 1

$intlimits^{ frac{ pi}{2} }_0 {sin^2x} , dx$
Воспользуемся формулой
1-cos2x=2sin²x
sin²x=1/2-(1/2)cos2x
$intlimits {( frac{1}{2}- frac{1}{2}cos2x) } , dx= frac{x}{2}- frac{1}{2} intlimits{cos2x} , dx=$
Вводим замену переменной
2x=u, тогда du=2dx ⇒ dx=du/2
$=frac{x}{2}- frac{1}{4} intlimits{cosu}, du=frac{x}{2}- frac{1}{4}sinu=frac{x}{2}- frac{1}{4}sin2x+C$

$intlimits^{ frac{ pi}{2} }_0 {sin^2x} , dx=frac{x}{2}- frac{1}{4}sin2x|_0^{ frac{ pi }{2}} = frac{ pi }{4} - frac{1}{4}sin pi -0+0= frac{ pi }{4}-0= frac{ pi }{4}$