Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
а)$y=3x-x^2, y=0$
б) $y=x^2+4x+5, y=5$

Answer 1

а) у = 3х - х².
Находим точки пересечения параболы с осью Ох (при у = 0):
3х - х² = 0,
х(3-х) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
Тогда заданная площадь - это интеграл:
$S= intlimits^3_0 {(3x-x^2)} , dx = frac{3x^2}{2}- frac{x^3}{3}|_0^3= frac{3*9}{2}- frac{27}{3} = frac{27}{2}-9= frac{9}{2}=4,5.$

б) Находим пределы:
х²+4х+5 = 5,
х²+4х = 0,
х(х+4) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = -4.
$S= intlimits^0_{-4} {(5-x^2-4x-5)} , dx = intlimits^0_{-4} {(-x^2-4x)} , dx =- frac{x^3}{3} - frac{4x^2}{2}|_{-4}^0=$
$=0-( frac{64}{3}- frac{96}{3})= frac{32}{3}$ ≈ 10,6667.