Question

Найдите площать фигуры, ограниченной линиями y=9-x^2, y=x^2-2x-3

Answer 1

Делаем чертёж. По нему определяем, что функция y=9-x² больше функции y=x²-2x-3 на промежутке [-2;3] (абсциссы точек пересечения графиков функций). Данные точки (пределы интегрирования) можно найти и аналитически приравняв обе функции:
9-x²=x²-2x-3
x²+x²-2x-3-9=0
2x²-2x-12=0 |:2
x²-x-6=0
D=(-1)²-4*(-6)=1+24=25
x=(1-5)/2=-2   x=(1+5)/2=3
Площадь фигуры вычисляется путём вычисления определённого интеграла по формуле:
$S= intlimits^b_a {(f(x)-g(x))} , dx$
$S= intlimits^3_{-2} {(9-x^{2}-(x^{2} -2x-3))} , dx = intlimits^3_{-2} {(12-2x^2+2x)} , dx=$
$=(12x- frac{2x^3}{3}+x^2)|_{-2}^3=$
$=12*3- frac{2*3^3}{3} +3^2-(12*(-2)- frac{2*(-2)^3}{3}+ (-2)^2)=27+ frac{44}{3}=41 frac{2}{3}$ ед²