Question

решите неравенство$27^{x} - 9^{x+1}+ frac{ 9^{x+1} -486}{ 3^{x}-6 } leq 81$

Answer 1

$27^{x}-9^{x+1}+ frac{9^{x+1}-486}{3^{x}-6} leq 81; ,; ; ODZ:; 3^{x}ne 6; ,; xne log_36\\(3^{x})^3-(3^{x})^2cdot 9+ frac{(3^{x})^2cdot 9-486}{3^{x}-6} -81 leq 0\\t=3^{x}; ,; ; t^3-9t^2+ frac{9t^2-486}{t-6}-81 leq 0\\ frac{(t^3-9t^2)(t-6)+9t^2-486-81(t-6)}{t-6} leq 0\\ frac{t^4-15t^3+63t^2-81t}{t-6} leq 0\\ frac{tcdot (t^3-15t^2+63t-81)}{t-6} leq 0\\Pri; ; t=3:; ; (t^3-15t^2+63t-81)_{t=3}=0; ; to$

$t^3-15t^2+63t-81=(t-3)(t^2-12t+27)=\\=(t-3)(t-3)(t-9)=(t-3)^2(t-9)$

$frac{tcdot (t-3)^2(t-9)}{t-6} leq 0\\Znaki:; ; ---[0]+++[3]+++(6)---[9]+++ \\tin (-infty ,0, ]cup (6,9, ]; ; Rightarrow ; ; left [ {{3^{x} leq 0} atop {6 textless 3^{x} leq 9}} right. ; left [ {{net; kornej} atop {3^{log_36} textless 3^{x} leq 3^2}} right. \\log_36 textless x leq 2\\Otvet:; ; xin (log_36, ;, 2, ], .$

Answer 2

$3^{3x}-3^{2x+2}+ frac{3^{2x+2}-486}{3^x-6}-81 leq 0 \ \ (3^x)^3 -3^2*(3^x)^2+ frac{3^2*(3^x)^2-486}{3^x-6}-81 leq 0 \ \ y=3^x \ y^3-9y^2+ frac{9y^2-486}{y-6}-81 leq 0 \ frac{y^3(y-6)-9y^2(y-6)+9y^2-486-81(y-6)}{y-6} leq 0 \ frac{y^4-6y^3-9y^3+54y^2+9y^2-486-81y+486}{y-} leq 0 \ frac{y^4-15y^3+63y^2-81y}{y-6} leq 0$

ОДЗ: y≠6
(y-6)(y⁴-15y³+63y²-81y)≤0
y(y-6)(y³-15y²+63y-81)≤0

Разложим на множители y³-15y²+63y-81:
при у=9    9³ - 15*9² +63*9 -81=729-1215+567-81=0

Разделим y³-15y²+63y-81 на (у-9):
   y³ -15y²+63y-81 | y-9
 -                            ------------  
   y³ - 9y²                 y² -6y +9
--------------
    _   -6y² + 63y
         -6y² + 54y
         ----------------
                 _  9y - 81
                     9y - 81
                      ------------
                              0

y³-15y²+63y-81=(y-9)(y²-6y+9)=(y-9)(y-3)²

y(y-3)²(y-6)(y-9)≤0
y=0     y=3        y=6         y=9
    -              +                +                -                +
------- 0 ----------- 3 ------------ 6 ------------ 9 ------------
\\\\                 \                   \\\\\\\\
y≤0
y=3
6<y≤9

3ˣ ≤ 0
нет решений

3ˣ=3
х=1

6< 3ˣ ≤9
3ˣ>6
x>log₃ 6

3ˣ ≤ 9
3ˣ ≤ 3²
x ≤ 2

x∈{1}U(log₃ 6; 2]