Question

неопределенный интеграл:((x-1)/e^(2x))dx

Answer 1

Решаем методом: $ucdot v=int u'v+int uv'$:

Из линейности интеграла следует: $intfrac{1-x}{e^{2x}}dx=intfrac{dx}{e^{2x}}dx-intfrac{x}{e^{2x}}dx$

Решаем сначала второй интеграл, а результат используем в подстановке.
$intfrac{dx}{e^{2x}}=-frac{1}{2e^{2x}}$

Теперь решаем второй подстановкой
Определяем:
$u=xRightarrow du=dx\ dv=frac{1}{e^{2x}}dxRightarrow v=-frac{1}{2e^{2x}}$
Подставляем:
$-frac{x}{2e^{2x}}=intfrac{x}{e^{2x}}dx+int-frac{1}{2e^{2x}}dx\ intfrac{x}{e^{2x}}dx=-frac{x}{2e^{2x}}+intfrac{1}{2e^{2x}}dx\ intfrac{x}{e^{2x}}dx=-frac{x}{2e^{2x}}+frac{1}{2}intfrac{1}{e^{2x}}dx\ intfrac{x}{e^{2x}}dx=-frac{x}{2e^{2x}}+frac{1}{2}Big(-frac{1}{2e^{2x}}Big)\ intfrac{x}{e^{2x}}dx=-frac{x}{2e^{2x}}-frac{1}{4e^{2x}}\ intfrac{x}{e^{2x}}dx=-frac{1}{4e^{2x}}(2x+1)+mathbf{C}$

Ответ: $intfrac{x-1}{e^{2x}}dx=-frac{1}{2e^{2x}}+frac{1}{4e^{2x}}(2x+1)+mathbf{C}\ intfrac{x-1}{e^{2x}}dx=-frac{1}{4e^{2x}}Big(2x-1Big)+mathbf{C}$